Funciones matematicas

 Derivaciones trigonométricas

En esta clase aprendí un poco mas del tema, sigo un poco confundido con el temas, pero yo siento que me falta practica y concentrarme un poco mas en clase.

Definición

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\cos (x)}$

Derivada de la función coseno

Dada la función ${\displaystyle f(x)=\cos (x)=\mathrm{sen}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)}$ es inmediato que:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)}$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, ${\displaystyle f(x)}$,

${\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}}$

y ${\displaystyle h(x)\ne 0}$, entonces la regla dice que la derivada de ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ es igual a:

${\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}}$

A partir de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan (x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos (x)}}$

haciendo:

${\displaystyle g(x)=\mathrm{sen}(x)}$

${\displaystyle g^{\prime }(x)=\cos (x)}$

${\displaystyle h(x)=\cos (x)}$

${\displaystyle h^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)}$

sustituyendo resulta

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\mathrm{sen}(x)[-\mathrm{sen}(x)]}{{\cos }^2(x)}}$

operando

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

${\displaystyle {\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)=1}$

${\displaystyle {\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}}$

resulta:

${\displaystyle f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)}$

de donde saque la información

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