Funciones matematicas

 Derivadas exponenciales y logarítmicas

En esta clase aprendí un poco mas sobre las exponenciales, no es nada del otro mundo pero ay unas que se complican mas que otros, pero como siempre digo la practica lo es todo en las derivadas.

Definición

Así como cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos encontrar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas usando fórmulas. A medida que desarrollamos estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas que estos supuestos sostienen están más allá del alcance de este curso.

En primer lugar, comenzamos con el supuesto de que la funciónB(x)=bx,b>0,$B(x)=b^x,b>0,$ está definida para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales —comenzando con la definición debn$b^n$, dónden$n$ es un entero positivo— como producto deb$b$ multiplicar por sí mismo losn$n$ tiempos. Posteriormente, definimosb0=1,b−n=1bn$b^0=1,b^{-n}={\displaystyle \frac{1}{b^n}}$, para un entero positivon$n$, ybs/t=(b√t)s$b^{s/t}=(\sqrt[t]{b}{)}^s$ para enteros positivoss$s$ yt$t$. Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor debr$b^r$ dónder$r$ es un número real arbitrario. Al asumir la continuidad deB(x)=bx,b>0$B(x)=b^x,b>0$, podemos interpretarbr$b^r$ comolimx→rbx${\displaystyle \underset{x\to r}{lim}{b}^x}$ donde los valores dex$x$ como tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver4π$4^{\pi }$ como el número satisfactorio.

En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma y=(g(x))n

  para ciertos valores de n

 , así como funciones de la forma y=bg(x)

 , dónde b>0

  y b≠1

 . Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como y=xx

  o y=xπ

 . Estas funciones requieren de una técnica llamada diferenciación logarítmica, que nos permite diferenciar cualquier función de la forma h(x)=g(x)f(x)

 . También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más simple, como encontrar la derivada de y=x2x+1−−−−−√exsin3x

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