Solución de ecuaciones lineales con 3 magnitas por el método gauss

 Solución de ecuaciones lineales con 3 magnitas por el método gauss

En esta clase aprendí a utilizar el método gauss, en el que consiste en obtener una matriz de coeficiente triangular de un sistema de ecuaciones al que se requiere resolver que es un cuadrado, la verdad el tema es muy confuso, bueno para mi se me hace muy confuso y con mucho procedimiento, nomas me falta agarrarle mas al tema y se me va hacer fácil

Definición:

 se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante transformaciones que convierten la matriz asociada al sistema en una forma escalonada, facilitando su resolución.

Si tienes un sistema con tres incógnitas (por ejemplo, xx, yy y zz), el método sigue estos pasos:

Pasos del método de Gauss:

  1. Representación matricial: Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada, que incluye los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes:

    [a11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \\ \end{bmatrix}

  2. Eliminación por filas: Utiliza operaciones elementales (suma, resta o multiplicación de filas) para convertir la matriz en una forma triangular superior, donde los coeficientes debajo de la diagonal principal sean ceros.

  3. Sustitución hacia atrás: Resuelve las ecuaciones resultantes de abajo hacia arriba para encontrar los valores de las incógnitas.

Ejemplo:

Resolver este sistema:

2x+y−z=8,−3x−y+2z=−11,−2x+y+2z=−3.\begin{aligned} 2x + y - z &= 8, \\ -3x - y + 2z &= -11, \\ -2x + y + 2z &= -3. \end{aligned}

  1. Matriz aumentada inicial:

    [21−18−3−12−11−212−3]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}

  2. Primera etapa: Haz que el primer elemento sea 1 (normalización) y elimina los elementos debajo:

    • Dividir la primera fila entre 2.
    • Sustituir en las demás filas para eliminar el primer término.

  3. Repetir: Trabaja con la segunda columna para obtener ceros debajo del pivote.

  4. Forma triangular: Al finalizar tendrás algo como:

    [1abc01de001f]\begin{bmatrix} 1 & a & b & c \\ 0 & 1 & d & e \\ 0 & 0 & 1 & f \end{bmatrix}

  5. Resolución hacia atrás: Resuelve para zz, luego yy, y finalmente xx.

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